Fondamenti della meccanica atomica
e quindi, se non sono entrambe nulle c1 e c2, dovrà essere
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che non è altro che la relazione di completezza delle autofunzioni in questione.
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difatti dalla (39') che [simbolo eliminato] non tende a zero per [simbolo eliminato] , e quindi l'integrale di normalizzazione non è convergente.
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Dunque, a rigore, la luce non è mai monocromatica se non viene emessa per un intervallo infinito di tempo.
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riga, definite però non nel modo precedente, ma come il minimo intervallo, che chiameremo 2 Δ'x (o 2 Δ'k),il quale contiene tutti i valori di x (o
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dove e rappresentano delle ordinarie serie di potenze di (ad esponenti interi non negativi. Se invece per il coefficiente P diventa infinito di
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Si dice che in un punto l'equazione (1') presenta una singolarità fuchsiana (o, come taluni dicono, non essenziale), se per uno almeno dei
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con reale (in generale non intero) e funzione regolare (o, in un caso eccezionale cui si accennerà più sotto, con una singolarità logaritmica
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(2) Non occorre dire che il procedimento euristico qui riportato non riproduce affatto lo svolgimento storico della teoria (per il quale rinviamo a
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Potremo dire dunque che l'ampiezza di probabilità , anche nel caso in cui non sia determinata l'energia della particella, e quindi le onde non siano
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Supponiamo perciò (come nella nota al § 25) che vi sia non uno ma un gran numero N di sistemi nelle stesse condizioni (e non agenti tra loro): la
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(1) La costante arbitraria di modulo 1, per cui potrebbe essere moltiplicata , e quindi , non influisce sulle probabilità e quindi non ha importanza.
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arbitraria di modulo 1, per cui potrebbe essere moltiplicata , e quindi , non influisce sulle probabilità e quindi non ha importanza. nelle formule
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quindi, le due curve ed non possono essere assegnate ad arbitrio: se esse si assegnano in modo che inizialmente non sia soddisfatta questa condizione
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classica tale regione è inaccessibile alla particella. Ma invece dal punto di vista della meccanica ondulatoria il risultato non ha nulla di paradossale
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(1) Questa considerazione può essere precisata mediante un'analisi più dettagliata nella quale non entreremo. Ci limitiamo ad accennare brevemente
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Passiamo ora al caso in cui la E non ha un valore determinato (ossia il sistema non è in uno stato stazionario o quantico): in questo caso la è
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Si può poi anche dimostrare che questa condizione è non solo sufficiente ma anche necessaria (1) V. BECHERT, Ann. d. Phys., 83, 906 (1927). , cioè
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(con che risulta intero e non negativo), si ha la (225).
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e non dipende da , ossia ha simmetria assiale.
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Mentre nel campo della struttura della materia si veniva facendo strada, con l'ipotesi di Planck, l'idea che le leggi classiche non fossero
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si vede che l'energia dipende solo dal semiasse maggiore, non dal minore.
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dove sono tre numeri interi, non negativi.
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perciò, se si definisce un nuovo numero quantico (non negativo) k, ponendo
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Si noti che l'ipotesi dei «quanti di luce» non è un puro e semplice ritorno alle vecchie teorie corpuscolari (o balistiche) della luce, poichè
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Risulta poi chiaro che non è possibile costruire un pacchetto d'onde sufficientemente piccolo, se si vuole far uso p. es. solo delle prime tre o
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Negli atomi e ioni non idrogenoidi, gli atomi che saltano da uno stato di quanto totale n ad uno di quanto totale n' non emettono tutti la medesima
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analogo a quello che negli atomi non idrogenoidi è prodotto dal fatto che il campo non è esattamente newtoniano). L'orbita dunque non è più una linea
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In generale, per tale prodotto non vale la proprietà commutativa, cioè l'operatore non coincide con l' operatore : è questo che rende l'algebra degli
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Le matrici così introdotte non si considerano come rappresentanti di operatori, poichè non servono a passare da un vettore a un altro, ma invece
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. di cui è funzione non sono permutabili, può non essere hermitiano; p. es., l'o. l. , se non è nullo, non è hermitiano, perchè altrimenti non sarebbe
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ed essendo F una funzione arbitraria, i coefficienti si debbono riguardare come numeri del tutto arbitrari: ne segue che la (63) non può sussistere
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se l'intervallo (a, b) non contiene
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0 se non hanno punti comuni;
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Nel caso che invece X, Y, Z,... non siano compatibili tra loro, questo procedimento evidentemente non è più applicabile. Tuttavia, data una funzione
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(1) Questa denominazione, di cui si vedrà la ragione al § 24, non deve far credere che questi siano i soli stati che non variano col tempo. P. es
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È questo il solo caso in cui la P è determinata dalla conoscenza delle Pk. Si noti che le particelle possono non essere statisticamente indipendenti
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e non sono evidentemente permutabili, poichè per qualunque funzione f si ha
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i cui elementi non sono altro che gli autovalori dell'operatore (v. § 10), e quindi rappresentano i possibili risultati di una misura di K. Gli
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Ora si noti che, a differenza di quanto accadeva nel caso precedente, l'autofunzione perturbata in generale non è prossima alla autofunzione
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È stato però riconosciuto che, per vari motivi, non si può adottare in generale la (255) come generalizzazione relativistica dell'equazione di
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Come si vede, questa derivata non risulta identicamente nulla, il che significa che non è un integrale primo. Consideriamo ora l'osservabile , il cui
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(2) Quindi le tre componenti dello spin non sono osservabili compatibili: da ciò dipende il fatto che le proprietà dello spin non corrispondono in
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Infatti, sia (1, 2) non simmetrica nè antisimmetrica: se essa rappresentasse uno stato possibile, sarebbe altrettanto di (2, 1) e quindi delle loro
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autofunzioni ortogonali, il quale non contiene nessuna autofunzione che non sia simmetrica o antisimmetrica.
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Passiamo ora a considerare in generale gli stati possibili (anche non stazionari) per il sistema. Ammetteremo, come è fisicamente plausibile, non
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Consideriamo ora uno stato generico, anche non stazionario, rappresentato da una certa . Se si ammette (come nel caso di due particelle) che
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Però le relazioni dirette tra grandezze osservabili non sono in genere esprimibili con i mezzi ordinari dell'algebra, e perciò l'ulteriore sviluppo
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attraverso non lievi difficoltà, e hanno condotto assai più lontano di quanto non si potesse a prima vista pensare.
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Tale condizione può essere sempre soddisfatta, perchè, detta Y(x) una autofunzione che non la soddisfi, basta dividere questa per la costante non
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Accademia della crusca
